Vành giao hoán có một phép nhân.

Các lớp dư của số nguyên

Các lớp dư trong vành Z / N Z {\displaystyle \mathbb {Z} /N\mathbb {Z} } có thể cộng với nhau:

( a + N Z ) + ( b + N Z ) = a + b + N Z {\displaystyle (a+N\mathbb {Z} )+(b+N\mathbb {Z} )=a+b+N\mathbb {Z} }

và nhân được với nhau:

( a + N Z ) ⋅ ( b + N Z ) = a ⋅ b + N Z {\displaystyle (a+N\mathbb {Z} )\cdot (b+N\mathbb {Z} )=a\cdot b+N\mathbb {Z} }

Vành các hàm

Hàm số thực có thể cộng và nhân nhau bằng cách nhân kết quả của chúng:

( f + g ) ( m ) := f ( m ) + g ( m ) {\displaystyle (f+g)(m):=f(m)+g(m)} ( f ⋅ g ) ( m ) := f ( m ) ⋅ g ( m ) {\displaystyle (f\cdot g)(m):=f(m)\cdot g(m)}

Tích chập

Tích chập của sóng vuông với chính nó cho phép các hàm tam giác

Hai hàm đồng hóa có thể nhân nhau theo một cách khác gọi là tích chập.

Nếu

∫ − ∞ ∞ | f ( t ) | d t < ∞ và ∫ − ∞ ∞ | g ( t ) | d t < ∞ , {\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }|f(t)|\,\mathrm {d} t<\infty \qquad {\mbox{và}}\qquad \int \limits _{-\infty }^{\infty }|g(t)|\,\mathrm {d} t<\infty ,}

thì tích phân

( f ∗ g ) ( t ) := ∫ − ∞ ∞ f ( τ ) ⋅ g ( t − τ ) d τ {\displaystyle (f*g)(t)\;:=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(\tau )\cdot g(t-\tau )\,\mathrm {d} \tau }

được định nghĩa và gọi là tích chập.

Dưới biến đổi Fourier, tích chập trở thành phép nhân hàm điểm.

Vành đa thức

Tích của 2 đa thức được định nghĩa:

( ∑ i = 0 n a i X i ) ⋅ ( ∑ j = 0 m b j X j ) = ∑ k = 0 n + m c k X k {\displaystyle \left(\sum _{i=0}^{n}a_{i}X^{i}\right)\cdot \left(\sum _{j=0}^{m}b_{j}X^{j}\right)=\sum _{k=0}^{n+m}c_{k}X^{k}}

trong đó

c k = ∑ i + j = k a i ⋅ b j {\displaystyle c_{k}=\sum _{i+j=k}a_{i}\cdot b_{j}}